Из того, что я усвоил, три отличительные особенности:
1. Астра, как говорят, обычно растёт одинокими стебельками, один - два цветка на одном стебле. Хризантемы растут кустами. Множество стеблей идущих от одного основания, сверху образуют охапку цветов.

Астры
Честно говорят, знание этих фактов мало помогают, бывают неоднозначные случаи. И, кстати, астры тоже бывают кустовые - это многолетние астры.

Синие мелкие астры

Астровые
2. Листья. У хризантем они по форме очень напоминают дубовые. Поэтому в простонародье их часто и зовут "дубками".

Мотылёк на цветке

Охапка хризантем
3. Запах. У хризантем терпкий запах, пахнут даже листья, и (важный момент) запах похож на хвойный.

Хризантемы

Хризантема
Вот здесь уже более чёткий маркер. Действительно, у листьев хризантем отличительный запах.

Хризантемы

Хризантемы
Так или иначе, и те и другие из семейства астровые - близкие родственники. Поэтому, наверное, не будет большой ошибки назвать хризантему астрой.

Синие астры многолетник

Хризантемы
А что касается путаницы с орхидеями...
Я не путаю эти цветы. Я знаю, как выглядит хризантема и как выглядит орхидея. Но я постоянно путаю эти слова. Вот и сейчас, когда хотел написать "хризантема", чуть не написал "орхидея".
На днях разместил серию фотоснимков с хризантемами в (запрещено) и долго подбирал теги с корнем "орхидея". Потом, уже после публикации, опомнился - пришлось редактировать.
И как перестать путать слово "хризантема" со словом "орхидея" я пока не знаю.

Хризантемы
Все фото из нашего домашнего сада.